双曲线的性质应用

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双曲线的性质综合应用
例1已知双曲线与椭圆 共焦点，它们的离心率之和为 ，求双曲线方程.
解 由于椭圆焦点为F(0, 4),离心率为e= ,所以双曲线的焦点为F(0, 4),离心率为2,
从而c=4,a=2,b=2 .所以求双曲线方程为: .
评析  关于双曲线离心率、渐近线问题常常是考察的重点，主要寻找 三元素之间的关系
题型二  有共同渐近线的双曲线方程的求法
例2 求与双曲线 有共同的渐近线，并且经过点 的双曲线方程．
解  由题意可设所求双曲线方程为：
双曲线经过点    　  
所求双曲线方程为：  
评析  渐近线为 的双曲线方程可设为 ，若与 有共同的渐近线也可以设出双曲线系 ，再把已知点代入，即可求出．
例3  设双曲线 上两点A、B，AB中点M（1，2）
⑴求直线AB方程；
⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？
解法一：显然AB斜率存在设AB：y-2=k(x-1) 由 得：(2-k²)x²-2k(2-k)x-k²+4k-6=0
当△>0时，设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂） 则 ∴ k=1，满足△>0∴ 直线AB：y=x+1
 法二：设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）则 两式相减得：(x₁-x₂)(x₁+x₂)= (y₁-y₂)(y₁+y₂)
 ∵ x₁≠x₂∴ ∴  ∴ AB：y=x+1代入 得：△>0
评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。
（2）设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
由 得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3
由 得：x²+6x-11=0设C（x₃,y₃），D（x₄,y₄），CD中点M（x₀,y₀）
则 ∴ M（-3，6）
∴ |MC|=|MD|= |CD|= 又|MA|=|MB|= ∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD|
∴ A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心， 为半径的圆上
评析：此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件.本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心，充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在学习中必须引起足够重视.
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