中环杯真题讲解系列：整数裂项

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中环杯真题讲解系列：整数裂项

　　整数裂项是中环杯考试的一个重要考点之一，下面使用一些例子给大家讲解一下整数裂项的一些常规题型及解法。

　　例题1：试计算计算3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101的值。

　　分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。

　　3×5=(3×5×7-1×3×5)÷(2×3)

　　5×7=(5×7×9-3×5×7)÷(2×3)

　　7×9=(7×9×11-5×7×9)÷(2×3)

　　……

　　97×99=(97×99×101-95×97×99)÷(2×3)

　　99×101=(99×101×103-97×99×101)÷(2×3)

　　将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。

　　解：3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101

　　=(99×101×103-1×3×5)÷(2×3)

　　=1029882÷6

　　=171647

　　例题2：计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100的值。

　　分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。

　　1×2=(1×2×3-0×1×2)÷(1×3)

　　2×3=(2×3×4-1×2×3)÷(1×3)

　　3×4=(3×4×5-2×3×4)÷(1×3)

　　4×5=(4×5×6-3×4×5)÷(1×3)

　　……

　　98×99=(98×99×100-97×98×99)÷(1×3)

　　99×100=(99×100×101-98×99×100)÷(1×3)

　　将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为(99×100×101-0×1×2)÷3。

　　解：1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100

　　=(99×100×101-0×1×2)÷3

　　=333300

　　例题3：

　　分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。

　　1×2×3=(1×2×3×4-0×1×2×3)÷(1×4)

　　2×3×4=(2×3×4×5-1×2×3×4)÷(1×4)

　　3×4×5=(3×4×5×6-2×3×4×5)÷(1×4)

　　……

　　96×97×98=(96×97×98×99-95×96×97×98)÷(1×4)

　　97×98×99=(97×98×99×100-96×97×98×99)÷(1×4)

　　右边累加，括号内相互抵消，整个结果为(97×98×99×100-0×1×2×3)÷ (1×4)。

　　解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+96×97×98×+97×98×99

　　=(97×98×99×100-0×1×2×3)÷(1×4)

　　=23527350

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