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圆锥曲线的性质

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圆锥曲线的性质,栏目:高中数学知识点总结范文,高中数学知识点归纳 ,http://www.jiaoyu880.com 。

一、圆锥曲线的性质知识回顾
1、思考: 在推导椭圆的标准方程时,我们曾得到这样的一个式子: ,
将其变形为:

你能解释这个式子的意义吗?
这个式子表示一个动点P(x,y)到定点(c,0)与到定直线 的距离之比等于定值 ,那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗?
二、圆锥曲线性质例题讲解
例1 已知点点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与到定直线 的距离之比是常数 ,求点P的轨迹。
解:由题意可得

化简得

令 ,则上式可以化为

这是椭圆的标准方程。
所以点P的轨迹是焦点为(c,0),(-c,0),长轴长、短轴长分别为2a、2b的椭圆。
变式 若将条件 改为 呢?
由上例知,椭圆上的点P到定点F的距离和它到一条定直线 (F不在 上)的距离的比是一个常数,这个常数就是椭圆的离必率
类似地,可以得到:双曲线上的点P到定点F(c,0)的距离和它到定直线 ( )的距离的比是一个常数,这个常数 就是双曲线的离心率 。
圆锥曲线的共同定义:圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线 (F不在定直线 上)的距离之比是一个常数 。
这个常数 叫做圆锥曲线的离心率,定点F就是圆锥曲线的焦点,定直线 就是该圆锥曲线的准线。
注:
(1)       椭圆的离心率 满足0< <1,双曲线的的离心率 >1,抛物线的的离心率 =1。
(2)       根据图形的对称性知,椭圆和双曲线都有两条准线,对于中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆或双曲线,准线方程都是 ;对于中心在原点,焦点在y 轴上的椭圆或双曲线,准线方程都是 。
(3)       圆锥曲线的定义深刻提示了三类曲线的内在联系,使焦点、离心率和准线等构成一个和谐的整体,当圆锥曲线上一点与一焦点和相应准线的距离需要建立联系时,常考虑第二定义;当圆锥曲线上一点与两焦点距离之和(或差)为常数时,常考虑第一定义。
圆锥曲线性质拓展:
椭圆的焦半径公式:若P(x,y)是椭圆上任一点,F1、F2是椭圆 的左焦点和右焦点,则 ;若P(x,y)是椭圆上任一点,F1、F2是椭圆 的下焦点和上焦点,则 ;
 


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